Inégalité des accroissements finis :
Soit \(f:I\to\Bbb R\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) ouvert
S'il existe une constante \(M\) telle que pour tout \(x\in I,\lvert f'(x)\rvert\leqslant M\), alors $$\forall x,y\in I,\lvert f(x)-f(y)\rvert\leqslant M\lvert x-y\rvert$$
(Dérivabilité, //Théorème des accroissements finis)
Inégalité des accroissements finis :
\(f\) est une fonction réelle définie sur un intervalle \(I\) ouvert
\(\lvert f^\prime\rvert\) est majorée sur \(I\) par une constante \(M\) (\(f^\prime\) est borné)
$$\Huge\iff$$
pour tout \(x,y\in I\), on a la majoration : $$\begin{align}&\lvert f(x)-f(y)\rvert\leqslant M\lvert x-y\rvert\\ \\ \overset{x\ne y}\iff&\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\leqslant M\end{align}$$
[!Warning] C'est faux en dimension supérieure
Par exemple, \(f(t)=(\cos t,\sin t)\) vérifie les hypothèses, mais pas le résultat.
Plusieurs variables
Inégalité des accroissements finis :
Soit \(f:U\to{\Bbb R}\) de classe \(\mathscr C^1\) sur un ouvert \(U\) convexe
Si il existe \(k\) tel que \(\lVert\operatorname{grad} f(c)\rVert\leqslant k\quad\forall c\in U\), alors $$\forall a,b\in U,\qquad\lvert f(b)-f(a)\rvert\leqslant k\lVert b-a\rVert$$
(Classe de fonctions, Ouvert, Ensemble convexe, Gradient, Norme)
Inégalité des accroissements finis (fonction de deux variables) :
\(f\) est une fonction réelle définie sur un ouvert \(U\) convexe
\(f\) est de classe \(\mathscr C^1\)
\(\lVert\operatorname{grad} f\rVert\) est majorée sur \(U\) par une constante \(k\)
$$\Huge\iff$$
pour tout \(a,b\in U\), on a la majoration : $$\begin{align}&\lvert f(b)-f(a)\rvert\leqslant k\lVert b-a\rVert\\ \\ \overset{b\ne a}\iff&\frac{\lvert f(b)-f(a)\rvert}{\lVert b-a\rVert}\leqslant k\end{align}$$